34届奥赛数学题[堕落街论坛]

34届奥赛数学题

已知：锐角△ABC内一点D ，∠ADB=∠ACB+90°㈠，且有AC·BD=AD·BC㈡。求解：比值 AB·CD / AC·BD=多少㈢？解：设∠CAD=∠1，∠CBD=∠2，，∠ACD=∠4。由㈠暗示∠ACB与∠ADB有内、外角关系，照此概念，延CD后→ ∠ADB=∠ACB+∠1+∠2 ，↓ 由㈠　 ∠ADB=∠ACB+90°， ↓ 对照上两式→　　　　　　　　　　　　∠1+∠2=90°。↓ 上式暗示∠1与∠2应合并，照此作 ∠CBL=∠3 =∠1 ， ↓⑴ 由图明示→ ∠DBL=90°。 ⑵ ★ ★ ★

由㈡变形→ AC / AD=BC / BD，↓ 由AC、AD有夹角∠1，AB为∠3（=夹角）的一边，又由BC/BD暗示，照样在BL上取 BE=BD ， ↓ 上两式相代→ AC / AD=BC / BE。 ⑶ 连DE、CE ，由⑵ →△BDE为等腰直角△→ DE=√2 BD 。 ⑷ ★ ★ ★

由⑴ 、⑶及相似概念→ △ACD∽△BCE ， ↓ 由相似△各边成比例概念→ AC / BC =CD / CE ⑸ ↓ 及∠4 =∠5（∠BCE），↓ 上式两边各加∠BCD→ ∠ACB =∠DCE， ⑹ ↓ 由⑸⑹照上相似概念→ △ABC∽△DEC ， ↓ 由㈢中AB暗示→ AB / DE =AC / CD→AB·CD = AC·DE ，⑺ ↓ ⑺代入㈢→ 比值 AB·CD / AC·BD = AC·DE / AC·BD ，由⑷→ =DE/BD=√2。

此题的解题思路，第一步在㈠的暗示下延CD ，∠1+∠2=90°暗示两角合并，照此作∠CBL=∠3=∠1 。第二步由㈡变形后（连同第一步）暗示，取BE=BD 。第三步已明示：照两次同样相似概念（夹角及夹两边成比例有相似三角形），再照㈢暗示，列出含AB的式子，代入即得。

另有书解出如下：解：分别作∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD，如图。(似乎异想天开) 于是 △ACD∽△BCE 从而 AC / BC=AD / BE=CD / CE ① ∴ AC·BE=BC·AD=AC·BD 因此 BE=BD。　　　　 ② 又因 ∠ADB=∠CBD+∠CAD+∠ACB=90°+∠ACB ∴　　　∠DBE=∠CBD+∠CBE=∠CBD+∠CAD=90° ∴　　　BD⊥BE ③ 因此 △DBE为等腰直角△ 由①知 AC / BC=CD /CE 且∠ACD=∠BCE 于是 ∠ACB=∠DCE ∴ △ACB∽△DCE 从而 DE / AB=CE / CB=CD / CA 因此 DE / BD= AB·CD / AC·BD=√2 即比值 AB·CD / AC·BD=√2 。

两个解法，不计细节，基本相同。但就某个问题而言，最大的区别在：左解法告诉读者问题为何这样解出，思路连续，步步（大步、小步）紧扣。右解法告诉读者他会解此题。数学解题教育的一个焦点是：告诉读者问题为何这样解出，古往今来，数学家只是解出难题，推导出定理公式；教科书、解题书只是传授“双基”，介绍应用“双基“的技能和一些巧妙方法；但都没有讲明问题为何如此解出。历史和实践是公正的裁判员，现列此两个解法，供大家讨论。

中国老人张光禄 2004，3，15 0739-5344277 0757-83210285

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