我于2003年11月发现了中学数学次基础定理《分角定理》，用它对1999年

全国高中联赛一个加试几何题研究，又发现该题可能有千多个不同解法。

一题千解，绝无仅有。而且更有奇异之处如下：

(一)由简单条件到简单结论（都是一对相等角）的过渡方法，有如此之多，实难预见。

（二）不添线。几何解题不同，多在添线。这多解法，全不添线，能不奇异？

（三）只列一式。解题不同，在于列式多而变化。如今每解都是只列一式，用等号不断延伸，在延伸中变出结论。有谁如此创新？这将是解题的一个重要模式。

（四）奇在此题结构，有很多三角形、分角线、对顶角、互补角，依靠《分角定理》，加上（三）中模式，可谓是天缘奇配，故而有此古今唯一的一题千解。

我本平庸，只因一点好运，碰上今天好的《天时》……欣逢盛世、《地利》……好社会、《人和》……数学解题热潮兴起，给我以知识营养，因而有此奇迹。我希望以后在我的墓碑上刻上这个有一条等分角对角线的四边形，两旁写上这两句话：《分角定理》《一题千解》就行了。以下附《分角定理》及两个解法。

1999年全国高中联赛加试几何题，——已知：四边形ABCD，AC平分∠BAD，F为AC上任一点，BF交DC于E，DF交BC于G。求证：∠CAG=∠CAE。

（证明一）设AG交BF于H，AE交DF于M，∠BAC=∠DAC=α，∠CAG=∠1，∠CAE=∠2，∠BAG=∠3，∠DAE=∠4，※表对顶角，○表互补角。由《分角定理》《正弦定理》→

(sin∠1/sin∠2)=①(FH/EF)·(AE/AH)= (BH/AH)·(AE/DE)·(DE/EF)×(FH/BH)②= (sin∠3/sin∠ABF)·

(sin∠ADC/sin∠4)·(sin∠DFE※/sin∠CDF)×(sin∠FGA/sin∠BGA)·(sin∠FBC/sin∠BFG※) =

(sin∠3/sin∠4)·(sin∠FGA/sin∠ABF)·(sin∠ADC/sin∠BGA)·(sin∠FBC/sin∠CDF)=

(sin∠3/sin∠4)·(sin∠FGA/AF)·(AF/sin∠ABF)·(sin∠ADC/sin∠BGA)·(sin∠FBC/CF)·(CF/sin∠CDF)=

(sin∠3/sin∠4)·(sin∠AFG※/AG)·(AB/sin∠AFB○)·(sin∠ADC/sin∠BGA)·(sin∠BFC○/BC)·

(CD/sin∠CFD※)= (sin∠3/sin∠4)·(AB/AG)·(sin∠ADC/sin∠BGA)·(CD/BC)=

(sin∠3/sin∠4)·(sin∠BGA/sin∠ABC)·(sin∠ADC/sin∠BGA)·(CD/BC) =

(sin∠3/sin∠4)·(sinα/sin∠ABC)·(sin∠ADC/sinα)·(CD/BC)=

(sin∠3/sin∠4)·(BC/AC)·(AC/CD)·(CD/BC)= (sin∠3/sin∠4)→（sin∠1sin∠4）/（sin∠2sin∠3）=1⑴。

由⑴→sin∠1sin∠(a-∠2)= sin∠2sin∠(a-∠1)→sin∠1sinacos∠2-sin∠1cosasin∠2=sin∠2sinacos∠1-sin∠2cosasin∠1→tan∠1=an∠2，由∠1、∠2＜π/2→∠1=∠2。由上可知，只要证明了⑴就算证明结论。

（证明二）由《分角定理》→1=(sin∠AFM○/sin∠AFE※)·(MF/EF)③×(sin∠BFC※/sin∠BFG※)·(CF/FG)④×（FG/MF）×(sin∠DFE※/sin∠CFD○)·(EF/CF)⑤=

(AM/AE)×(BC/BG)×(FG/MF)×(DE/CD)=（AM/AE）×(sina/sin∠3)·(AC/AG)×(sin∠1/sin∠2)·（AG/AM）

×(sin∠4/sin∠a)·(AE/AC)= (sin∠1/sin∠2)·(sin∠4/sin∠3)=1,由上→∠1=∠2。

附注：《分角定理》为：三角形中一角被一直线内分（或外分），又分对边为两线段时，则两线段之比等于与两对应分角正弦之正比乘以与两对应分角的两条不重合边之正比；还等于与两对应分角正弦之正比乘以与两对应线段的相邻角（非公共或互补）正弦之反比。由于公式含6项，用乘除结合，可变形出十多个方便运用的公式。举例如下：

①AF内分∠EAH→(FH/EF)=(sin∠1/sin∠2)·(AH/AE)→(sin∠1/sin∠2)=(FH/EF)·(AE/AH)。

②AH内分∠BAF→(FH/BH)= =(sin∠FGA/sin∠BGA)·[FG/BG=](sin∠FBC/sin∠BFG)。

③AF外分∠MFE→(AM/AE)=(sin∠AFM/sin∠AFE)·(MF/EF)。

④BF外分∠CFG→(BC/BG)=(sin∠BFC/sin∠BFG)·(CF/FG)。

⑤DF外分∠CFE→(DE/CD)=(sin∠DFE/sin∠CFD)·(EF/CF)。

0739——5344277

0739——2351089 古稀老人 张光禄 2006，1，