[數學]最大利潤、最小成本，請進
[數學]兩條不相交曲線最短距離之解題方法
朗冠吉係數 Lagrange Multiplier 方法簡介
一條令許多人昏倒的題目 Lagrange Multiplier

94,06,27,16,33始
[數學]最大利潤、最小成本，請進
一個函數需要找最大值、最小值時，沒有限制
條件的情況比較少，當有限制條件時，如何解
受限制情況下的最大利潤、最小成本？此時，
需要使用朗冠吉係數 Lagrange Multiplier
方法，下面是該法的簡單介紹，以一個有限制
條件的幾何問題為例題。
94,06,27,16,39止

<img src=http://freeman2.com/Lagrange.jpg>

94,02,10,20,18
所論的題目需要使用微積分，令微分值為零，
以求解，所以讀者需要有微積分的基礎。

論壇限制長度最多七千五百字，自由人自己的
網頁錄有全文，使用大約三萬字，由三萬字縮
減至七千五百字，不得不刪除許多說明。

請到自由人網站取閱全文，網址如下
http://freeman2.com/tutc0001.htm
94,02,10,20,21

94,02,16,07,26
若簽送至初中、小學網站，請數學老師閱讀。
94,02,16,07,27

93,12,13,21,19始

93,12,13,17:29:19 自由人取閱下面討論
http://mathforum.org/library/drmath/view/52071.html

Date: 11/24/98 at 16:29:56
From: Sam
Subject: LaGrange Multiplier

內容如下（原卷是英文）
■□
我有一個簡單的問題，是有關於朗冠吉係數
（LaGrange Multiplier）的題目，我的根本
問題是如何決定這兩個方程式中，那一個是限
制條件式？大多數的題目都明確指出目標方程
式及明確指出限制方程式，這種題目，我只要
按照解題步驟做下去。但是，這一道題目不太
好做，題目中那裏明確指出限制條件式呢？例
如，這裏有一條作業題。

〔〔
有兩條曲線，每條線上有一個點可以自由沿線
移動，找出那兩個點（一線一點）的距離最近
。請用朗冠吉係數法解題。
y = 2x - 3
y = x^2
〕〕

現在我的問題是，這兩個方程式，到底那一個
是限制條件式？

若您能夠為我解答，感激不盡。謝謝。Sam
□■

上面是網路文章，提出問題，這是一個令許多
新手昏倒的題目，因為那一個方程式是限制式
？那一個方程式是目標函數（待極小化）都不
知道。如果讀者有興趣，請先思考。

過幾天再註明自由人意見。

93,12,13,21,52止

94,01,22,10,54始

日期﹕11/24/98 at 17:07:04
發信﹕尚圖博士 Doctor Santu
主旨﹕回覆「朗冠吉係數」

嗨，你好。

山姆，實際上呢（你有心理準備嗎？）這兩個
公式
y = 2x - 3
y = x^2
都是限制式！你可能知道題目可以出現多個限
制式。你必須對每一個限制式使用一個朗冠吉
係數。限制式的意思是說防止你離開定義域。
這一道題目的待極小化目標函數（或待最佳化
）是兩點之間的距離。
(x[1],y[1]) 及 (x[2],y[2]) 兩點。
顯然我們可以令兩點盡可能接近，直到距離為
零（兩點重合）。但是題目指定第一點必須在
第一條曲線上、第二點必須在第二條曲線上。

所以你需要對兩點之間的距離施以極大化。
（自由人註﹕此處應該是「施以極小化」）
目標函數為
sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2],
同時受到限制條件
y[1] = 2x[1] - 3,
及
y[2] = x[2]^2.
兩點必須位在各自曲線上。

有其他方法可以解此問題，也有捷徑。一個捷
徑是忽略開平方「sqrt」關係。只要
找到兩點之間距離平方的最小值，與
找到兩點之間距離　　的最小值完全一樣。
忽略開平方可以省去許多計算。

另外一個方法，先求出 y 是 x 的那種函數，

然後消除一個變數，解單變數問題，可以完全
忽略朗冠吉係數，不過對練習朗冠吉係數而言
，這是欺騙行為。

—尚圖博士。數學論壇
http://mathforum.org/dr.math/

94,01,22,11,27止

94,01,22,11,45始
上面是關於朗冠吉係數的問題及數學論壇尚圖
博士的回答。自由人翻譯為中文，如果有翻譯
欠妥，應該以英文為主。

下面是山姆、尚圖論題圖解。
<img src=http://freeman2.com/tc9401a1.gif>

自由人的看法如下。

y = 2x - 3
y = x^2

兩個公式，正好與許多朗冠吉係數初階教材使
用的兩個公式相似。請比較下面兩個公式

（上面是山姆、尚圖論題，本文解此題。
　下面是不同的題目，只是舉例，沒有解題）

G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
R(x,y) = x + y - 3 = 0

G(x,y) 代表目標函數 (Goal)
R(x,y) 代表限制條件 (Restriction)

目標函數可以極大化（最大利潤），
目標函數可以極小化（最小成本）。
極大化的目標函數乘以負一變為
極小化的目標函數，所以極大化或極小化處理
方法相同，許多最佳設計課本統一為極小化問
題，並且稱目標函數為成本函數。聽見「成本
」大家都知道成本越低越好。不論目標函數是
否真的討論降低成本，「成本函數」的「成本
」只是形容詞。

題目寫為

極小化目標函數
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)

受到限制條件
R(x,y) = x + y - 3 = 0

在最佳設計課本中，所有限制條件式統一為
限制條件公式　＝　０

為什麼限制條件全部調整為「等於零」？

第一
因為不等於零的限制式在移項之後變為等於零
，例如限制式
x+y=5
與
x+y-5=0
全等。

第二
待極小化目標函數 G(x,y)
要與　　限制條件 R(x,y) 相加，成為複合的
朗冠吉函數 L(x,y)=G(x,y)+lambda*R(x,y)
其中 lambda是朗冠吉係數。也就是
朗冠吉函數＝目標函數＋朗冠吉係數＊限制條件

（請注意上述朗冠吉函數與目標函數之差別）

若限制條件 R(x,y) 恆等於零，目標函數加零
不改變目標函數的值。也就是
如果限制條件全部調整為等於零，那麼，
朗冠吉函數的值與目標函數的值相等。

94,02,02,19,06加入始
第三
限制條件全部調整為「等於零」可以還原限制
條件。
如果限制條件錯誤使用
x+y=5
如何納入朗冠吉函數？
朗函數＝目標函數＋朗係數＊(x+y)　（錯！）
嗎？但是！
在執行朗冠吉函數對朗冠吉係數微分的結果
　是令為零！　（x+y=0　錯誤限制式）
不是令為五，　（x+y=5　原有限制式）

如果限制條件　●不●　調整為「等於零」
「微分的結果令為零」不能還原限制條件式！

●　因為朗冠吉係數法解題時有一步為令
●　朗冠吉函數對朗冠吉係數微分＝０，
●　唯有限制條件全部調整為「等於零」
●　，然後拋棄「等於零」，把剩餘部分
●　乘以朗冠吉係數，再納入朗冠吉函數
●　，等候在微分過程中，限制條件獲取
●　一個「等於零」，如此才可能還原限
●　制條件。

原有限制條件公式在朗冠吉係數法解題時必須
重現，才能維持正確題意。（重點）
94,02,02,19,39加入止

●　既然限制條件 R(x,y) 恆等於零，
●　故「 = 0」經常略除，

題目簡化為（略除「 = 0」）
極小化 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
限制式 R(x,y) = x + y - 3

為什麼要用 G(x,y) 及 R(x,y) ？
不用 G(x,y) 及不用 R(x,y) 可以嗎？

右端的繁雜公式以左端簡符代表。

解題步驟需要定義朗冠吉函數如下
L(x,y)=G(x,y)+lambda*R(x,y)
比較精簡。如果不用簡符代表，直接寫為
L(x,y)=(x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)+lambda*(x + y - 3)
比較繁雜，所以使用 G(x,y) 及 R(x,y) 。

累積以上的背景條件之後，
下面的列式（略除「 = 0」及使用 G, R）
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
R(x,y) = x + y - 3
使新手困惑！

是
極小化 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
限制式 R(x,y) = x + y - 3
嗎？

是
極小化 R(x,y) = x + y - 3
限制式 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
嗎？

是認定 G(x,y) 為目標函數嗎？但是
G(x,y)是隨意代符，如果改用
C(x,y) = x + y - 3
D(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
我怎麼知道誰是誰？！

為此，自由人曾經苦思很久。最後注意其差別

極小化公式的 G(x,y) 是變動值，不能鎖死。
限制式的　　 R(x,y) 是固定值，不能變動。
●　請注意，上面兩行是重點！　●

極小化公式的 G(x,y) 是變動值，不能鎖死。
因為「極小化」的意思是有多重選擇，
如果指定 G(x,y) 等於零，或
如果指定 G(x,y) 等於一，請想一想，
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
等於常數？
已經鎖定了，不可能執行極小化！！

另一方面，
限制式的　　 R(x,y) 是固定值，不能變動。
如果 R(x,y) = x + y - 3 等於變動值，這就
不是限制條件了！
R(x,y) = x + y - 3 = 0 鎖定 x, y 關係
R(x,y) = x + y - 3 = 任意值， x, y 無關

現在回到山姆的問題，已知兩個公式
y = 2x - 3
y = x^2
可以改寫如下
y - 2x + 3 = 0
y - x^2 = 0
都是等於常數（零）的公式，所以二者都是限
制式。（此處自由人回答了山姆的問題）

對應的比較，尚圖博士列出的兩點距離公式

sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2]

沒有「等於常數」的符號，故為目標函數，
可以極小化（或極大化）。

雖然距離公式不可以等於常數，不過
距離公式可以等於代符，便利建立朗冠吉函數
，　●只要不指定代符為常數即可●　。

希望以上是越說越明白。

自由人　　中國九十四年一月二十二日

94,01,22,12,48止

.....
首先用最基本的方法解題，不用朗冠吉係數。

論壇有長度限制，自由人數理自修網頁有全文
http://freeman2.com/tutc0001.htm
.....

94,01,28,11,19始
上面已經用普通方法解出山姆向尚圖博士提出
的兩曲線之間最短距離問題，也討論了與朗冠
吉係數法相關的常識。

下面用朗冠吉係數法解相同的問題。

山姆指出的限制公式為兩條曲線
y = 2x - 3　……Ａ５２式
y = x^2　　　……Ａ５３式

尚圖博士指出的重點是極小化距離函數﹕
sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2]

尚圖博士也告訴讀者略除開平方函數，
不要 sqrt[] ，把目標函數簡化為距離平方
(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2　…Ａ５１式

以 G() 代表目標函數，
以 R1()代表限制公式一，
以 R2()代表限制公式二，
便利建立朗冠吉函數，列式如下

上面是問題的數學列式，
下面是問題的幾何圖形。

朗冠吉係數法不利用限制式消除因變數，
朗冠吉係數法把限制式乘以係數再與目標函數
相加，建立朗冠吉函數如下圖Ａ６５式﹕

距離平方 G() 有兩個自變數；兩個因變數﹕
ｘ１　ｘ２；ｙ１　ｙ２

朗冠吉函數 L() 有六個自變數﹕
ｘ１　ｘ２　ｙ１　ｙ２　λ１　λ２

其中
（ｘ１，ｙ１）是曲線一上任意點，
（ｘ２，ｙ２）是曲線二上任意點。

λ１乘以曲線一公式R1()後加入目標函數 G()，
λ１是曲線一使用的朗冠吉係數。

λ２乘以曲線二公式R2()後加入目標函數 G()，
λ２是曲線二使用的朗冠吉係數。

最終的總組合稱為朗冠吉函數 L() 。

94,01,28,12,07止

94,01,28,14,18始

因為朗冠吉函數已經納入限制條件因素，
●●朗冠吉函數以外不再有限制條件，所以
●　朗冠吉函數是十足的無限制條件函數。
●　朗冠吉函數的變數如同互不相依的自變數

一個沒有限制條件的函數可以直接執行微分。

朗冠吉函數的變數是
目標函數的變數　　ｘ１　ｘ２　ｙ１　ｙ２
加所有朗冠吉係數　λ１　λ２

94,01,28,14,28止

94,02,01,08,56始
假設目標函數的變數為ｍ＝４個（尚圖解題）
假設限制條件的數目為ｎ＝２個（尚圖解題）
則
朗冠吉函數的變數是ｍ＋ｎ＝６個。

目標函數的自由度為ｍ＝４個
限制條件減少的自由度為ｎ＝２個
目標函數的無限制自由度為ｍ－ｎ＝２個

如果
ｍ＝４個變數的目標函數受
ｎ＝４個限制條件的約束，
目標函數的無限制自由度為ｍ－ｎ＝０個

零個自由度？！答案只有一個點？！
這是初中學生的代數題目！
不是最佳設計問題！！

這裏主要說明ｍ＞ｎ才是合理的題目。

（ｎ＞０時才需要勞駕朗冠吉）

94,02,01,09,09止

94,01,28,15,40始
以下是朗冠吉函數對六個自變數的偏微分。

下面是朗冠吉函數的定義式（Ａ７１式）及
朗冠吉函數對六個自變數的偏微分列式
Ａ７２式
至
Ａ７７式

ｄＬ／ｄｘ１　表示ｘ１微變時，Ｌ的微變量。
如果在點ｘ１＊處　ｄＬ／ｄｘ１等於零，我們說
ｘ１＊是靜止點。
下面三種情況都會產生靜止點﹕
如果ｘ１＊是鄰域內的最小值點，
如果ｘ１＊是鄰域內的最大值點，
如果ｘ１＊是鄰域內的轉折點，
這三種情況都會產生　ｄＬ／ｄｘ１等於零，

我們指定　ｄＬ／ｄｘ１等於零，就是要求ｘ１
走到靜止點。然後我們可以判斷，這個ｘ１＊
是最小值點？是最大值點？是轉折點？

指定　ｄＬ／ｄｘ１等於零，我們人為的加入
一個限制條件，朗冠吉函數的自由度因而減一，
本例題，朗冠吉函數總共有六個自由度，由
Ａ７２式至Ａ７７式，我們指定六個等於零，
朗冠吉函數的自由度減為零，也就是得到唯一
答案。

解Ａ７２式至Ａ７７式是簡單的計算，請讀者
動筆算一算。
答案應該是
ｘ１　＝　１．８
ｙ１　＝　０．６
ｘ２　＝　１．０
ｙ２　＝　１．０
λ１　＝　０．８
λ２　＝－０．８

下面是答案圖，紅線為最短距離。

94,01,28,16,16止

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戲鳳
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虞美人（幾多愁）
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17,840,635 http://freeman2.us/dljv0009.zip

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梅花（大銀幕）
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94,02,09,15,55止